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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 — 
tische Forschung zu bieten verspricht, bildeten, wie nebenbei bemerkt sein möge, den Inhalt der in der 
Einleitung erwähnten, von mir an die Internationale Polarkommission gerichteten Denkschrift. 
Bisher ist ausschliesslich ein dritter Weg benutzt worden, welcher die Vertheilung der magnetischen 
Elemente auf einer Anzahl von Parallelkreisen zum Ausgangspunkt hat. Diese Vertheilung wird durch 
trigonometrische Reihen als Funktion der geographischen Länge dargestellt, und durch Vergleichung jener 
Reihen mit den für dieselben Parallelkreise geltenden aus dem Potentialausdruck hervorgehenden werden 
Gleichungen gewonnen, welche durch eine Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate 
zur Berechnung der Potentialkoeffizienten dienen. In ganz gleicher Weise könnte man nun auch die 
Koeffizienten derjenigen Reihen bestimmen, welche die Grössen X, Xsinv u. s. w. selbst darstellen. Diese 
einfachere Aufgabe lässt sich indessen auf einem bequemeren Wege lösen, welcher die Anwendung der 
Methode der kleinsten Quadrate umgeht. Derselbe entspricht durchaus dem bekannten Verfahren, die 
Koeffizienten einer trigonometrischen Reihenentwickelung aus den Funktionswerthen in einer über die 
Periode vertheilten Anzahl von Punkten zu bestimmen. Die Koeffizienten ergeben sich hier als Summen 
jener mit gewissen Faktoren versehenen Werthe, wobei diese Faktoren allein von der Lage der Punkte 
innerhalb der Periode abhängen. Das entsprechende Verfahren zur Entwickelung einer auf der Kugelfläche 
gegebenen veränderlichen Grösse nach Kugelfunktionen, ein Verfahren, auf das ich vor drei Jahren bei 
Gelegenheit der vorliegenden Untersuchung geführt wurde, ist, wie ich nachträglich bei der Durchsicht der 
Literatur fand, schon seit sehr langer Zeit bekannt, scheint aber wenig beachtet worden zu sein. Es wurde 
von F. Neumann im Jahre 1888 mit besonderer Bezugnahme auf seine Anwendbarkeit zur Darstellung 
der erdmagnetischen Erscheinungen veröffentlicht.*) Die zum Schluss ausgesprochene Absicht, später selbst 
eine solche Darstellung zu geben, scheint der Verfasser — wohl durch das bald darauf erfolgende Erscheinen 
der „Allgemeinen Theorie. . .“ bewogen — nicht ausgeführt zu haben. 
Da die Neumann’sche Methode, wie bemerkt, nicht allgemein bekannt zu sein scheint, so schiebe 
ich hier eine kurze, auf jede Begründung verzichtende Darstellung derselben ein — selbstverständlich unter 
Umsetzung in die durchgehends in der vorliegenden Arbeit angewandte Bezeichnungsweise. 
Die darzustellende Funktion, etwa X, sei auf einer vorläufig als ungerade zu (2jj+1) angenommenen 
Anzahl von Parallelkreisen mit den Polabständen v 2 - ■ v 2p+ x durch trigonometrische Reihen ausgedrückt, 
welche bis zum ^p-fachen der geographischen Länge fortschreiten. Auf dem Parallelkreise v v sei 
(24) X == XI (C m , v cos m X + S m , „ sin m X) v = 1, 2. . . (2^+1) 
m = 0 
Bestimmt man nun (2;p+l) Grössen oq, a 2 . . -a^p+x in der Weise, dass sie die Gleichungen 
(25).... 
v~2p+l 
21 a v =1 
v= 1 
v = 2i>+l 
52 a v cosv v 2 = 
v = l 
1 
v = 2i>4-l -i 
3 " 
* = i ” 2j?+l 
= 2i) + l 
v = 2p+l 
v=2#+l 
!>~ öl cos v v = 0 
> a v cos v v % = 
0 .... 
a v cosv 2 v v+l — 0 
v = 1 
v = 1 
welche allerdings nur unter einer die Winkel v u v 2 . ■ .v 2 p+1 verknüpfenden Bedingung vereinbar sind, 
erfüllen, so ergeben sich die Koeffizienten 6” und c” der Entwickelung von X durch folgende Formeln: 
11 » —2j»+l 
(26)...&: al 21 a,P n m (cosv„).C mi , 
2w+l 
= 2j»+l 
c: — —~ < «, -P” (COS v). s m ,, 
u v = 1 
n 
1,2. .p 
Ist die Anzahl der Parallelkreise eine gerade, etwa gleich 2p, so fallen die beiden letzten Gleichungen 
des Systems (25) fort und die Winkel vi, v 2 ■ ■ v 2p brauchen somit in diesem Falle keiner Bedingung zu 
genügen. Die Entwickelung von X kann jedoch alsdann nur bis zu den Kugelfunktionen vom Range (p—1) 
ausgedehnt werden. 
*) lieber eine neue Eigenschaft der Laplace’schen F< n > und ihre Anwendung zur analytischen Darstellung derjenigen 
Phänomene, welche Funktionen der geographischen Länge und Breite sind. Von F. Neumann in Königsberg. Schumacher’s 
Astronomische Nachrichten, Bd. 15, S. 313. Wieder abgedruckt in den „Mathematischen Annalen“, Bd. 14, S. 567 (1879).