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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 — 
Nunmehr wende ich mich zu der Auswerthung des Potentials einer bestimmten magnetischen Massen 
belegung. Die mathematischen Entwickelungen, welche zur Lösung nicht nur dieser, sondern auch mehrerer 
anderer mit ihr aequivalenter Aufgaben der theoretischen Physik führen, sind durch die Arbeiten von 
Lame, Heine und F. Neumann schon vor langer Zeit angegeben worden. Hier handelt es sich nur 
noch darum, das von diesen Forschern abgeleitete Resultat in eine für die Ausführung numerischer 
Rechnungen möglichst geeignete Form zu bringen. 
Ich gehe von der Formel aus, welche Heine in seinem „Handbuch der Kugelfunktionen“ für den 
reziproken Werth der Entfernung B zweier Punkte findet, (a. a. 0. Seite 320.) Diese Formel lautet in der 
von ihm gebrauchten Bezeichnung: 
n = x m = n 
~ (—l)” 1 a l PI (cos 00 P” (cos 0 2 ) P” ( ? 0 Ql (?2) COS m (ipt-fc) 
B e ^—_ 
n — 0 m — U 
Die Funktion, welche hier P” genannt ist, stimmt nicht vollkommen mit der ebenso bezeichneten, durch 
Gl. (5) definirten überein; sie ist vielmehr gleich dem Produkt aus dieser und dem Faktor (V—1)”\ Die 
sogenannte Kugelfunktion zweiter Art Ql ist durch folgende Gleichung bestimmt: 
n 0 n M _ ( , 1 ^ [, . (n+m+1) (%+m+2) (n+m+1) (n+m+2) (n+m+3) (w+w+4) 1 
(14).... (4,(0?) - (x-l) x [1+ 2(277+3) 35 + ^¥(2^3)12^6) + -'J 
(Mod x>l) 
Nebenbei sei bemerkt, dass sich diese Reihe ergiebt, wenn in der für PI gültigen (nach Heine’s 
Bezeichnung) —(n-\-l) an Stelle von n gesetzt wird. Ein wesentlicher Unterschied beider Reihen besteht 
indessen darin, dass die zur Darstellung von Ql dienende unendlich ist, während die andere nach einer 
endlichen Anzahl von Gliedern abbricht. 
Ich setze nun zunächst die Hei ne’sehe Formel in die hier gebrauchte Schreibweise um. Für 
0\, 02? ipi, ip2 ist t>i, f 2 , fa, h zu schreiben. An Stelle von e tritt +ei, d. h. ±e V—1, da Heine Vb 2 —a 2 
durch e bezeichnet. Ich wähle das untere Vorzeichen, so dass ich i : e für 1 : e zu setzen habe. Infolge 
dessen muss für q, welches den Quotienten r : e darstellt, nunmehr ir : e geschrieben werden. Der 
Faktor (—1)"‘ endlich verschwindet durch Einführung der in Gl. (5) gegebenen Definition von P”. Somit 
erscheint die reziproke Entfernung zweier Punkte (ri V\ A t ) und (r 2 f2 7) in der Form 
(15) 
1 
B ~ 
7 X ^< P ^osv{]Pl(cosv,)Pli^P\Ql{77\ 
» = 0 m = 0 \ / \ / 
cos m (Äi—1 2 ) 
für ri <1 r-2 
Um diesen Ausdruck für die Zahlenrechnung bequemer zu gestalten, ändre ich die Bezeichnung etwas 
ab. Ich setze 
(16) 
und schreibe ferner zur Abkürzung: 
Ql (x) = ar—i. ql (x) £ (Ifj = £ [r] 
Ein Blick auf die Gleichungen (5) und (14) lässt die Bedeutung der hierdurch eingeführten Funktionen 
pl und ql erkennen und zeigt zugleich, dass dieselben für rein imaginäre Argumente reell und für unendlich 
grosse gleich 1 sind. Da bei der Anwendung auf das Erdellipsoid e ungefähr gleich b : 17 wird, so sieht 
man weiter leicht ein, dass, von den offenbar kaum in Betracht kommenden Punkten in der Nähe des 
Erdzentrums abgesehen, die Argumentwerthe überall grosse Zahlen und die Werthe der Funktionen pl und 
ql daher nirgends beträchtlich von 1 verschieden sind.