Nordseezustand 2003 
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B.3 Wahrscheinlichkeitsellipsen 
berechnen lassen. Für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte des Zufallsvektors 
(U*,V*) ergibt sich schließlich 
f(u*,v*) = f(u*)-f(v*) = exp \ -^(u* 2 /g 2 * + v* 2 /g 2 *) l. Gl. B-10 
B.3 Wahrscheinlichkeitsellipsen 
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Realisierung (u*,v*) in die elliptische Region 
E* fällt, ergibt sich als Volumen unter der bivariaten Dichte (Gl. B-10) innerhalb E*. 
Aufgrund der elliptischen Geometrie empfiehlt sich für die Berechnung des Doppelin 
tegrals der Übergang von kartesischen zu Polarkoordinaten mittels der Variablen 
transformation 
u* = aRcoscj) und v* = bRcoscj) , Gl. B-ll 
bei der a und b die Halbachsen einer Ellipse bezeichnen. Die Tranformationsgleichun- 
gen bilden Ereignisse (u*,v*) in der Region E* auf Ereignisse (R,c()) in der Region E 
ab. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse bleibt erhalten, so dass 
P E = ff f(u*,v*) du*dv* 
J j e* 
worin 
Gl.B-12 
J 
u* ,y* 
R»4> • 
QU* F11* 
FR d§ 
Fv* Fv* 
FR Fc() 
abR(cos 2 cj) + sin 2 cj)) = abR 
Gl.B-13 
die Jakobi-Determinante bedeutet (e. g. Burrington und May 1970). Mithilfe des po 
sitiven Skalierungsparameters 
c = a/o^ = b/c> v * Gl. B-14 
lässt sich Gl. B-12 unter Verwendung von Gl. B-10 auf die folgende Form bringen 
„ r r c 2 r 271 r 1 -^c 2 R 2 
P E = c^g^JJ f(R,<|>)RdRd<|> = ^ { e 2 d(R 2 /2)dcj) . Gl. B-15 
Mit der Substitution x = 0.5 R 2 (die obere Grenze reduziert sich dabei von 1 auf 0.5) 
ergibt sich schließlich als Lösung